Andrés P. Djordjalian

Este es un reporte del diseño de un filtro analógico, realizado en base a una especificación dada, y del análisis del mismo.

Se comienza por analizar la especificación y proponer un circuito adecuado. Luego se describen los pasos a seguir para la determinación de los valores de los componentes. El circuito resultante es analizado, simulado, e implementado en un prototipo, del cual se toman mediciones para compararlas con la especificación. El reporte concluye con un análisis de sensibilidad.

Se hace especial énfasis en las siguientes secciones :

• La determinación de los valores, tomándose en cuenta la optimización del rango dinámico y presentándose una tabla que asiste en el proceso de especificar valores comerciales.
• La especificación de los tipos de resistores y capacitores, discutiendo alternativas.

Según se especificó, la función transferencia del filtro a diseñar debía tener las siguientes características:

1. Un par conjugado de ceros sobre el eje imaginario con frecuencia w _z=20 r/s.
2. Un par conjugado de polos con Q=1 y componente imaginaria de módulo w ₁=10 r/s.
3. Módulo para w tendiendo a cero de 20 dB.

La tolerancia permitida para estos parámetros es de un 10%.

La existencia de ceros sobre el eje imaginario indica que el filtro es un notch, siendo w _z la frecuencia del notch. La transferencia de un bi-quad notch es, en la forma de Bode :

Esta forma se deduce fácilmente de la general al notar que es su límite para el Q del cero tendiendo a infinito.

Para averiguar el valor de w _p a partir de w ₁ y Q se realiza el siguiente cálculo :

Entonces, la transferencia del filtro especificado es :

En las figuras 1 y 2 se puede esta respuesta en frecuencia gráficamente.

Figura 1 - Módulo de la respuesta en frecuencia

Figura 2 - Fase de la respuesta en frecuencia

El circuito que se decidió utilizar para implementar esta transferencia es un filtro de variables de estado adaptado para ser notch. Esta adaptación consiste en desconectar la salida de la etapa pasa-banda del sumador de la salida, conectando la resistencia correspondiente a masa. El circuito puede verse en la figura 3. En el diagrama, la resistencia que se mencionaba es la R10.

Figura 3 - Circuito propuesto

En este circuito, los operacionales A1 y A2 forman circuitos integradores que siguen las siguientes ecuaciones :

(1) y (2)

Estas ecuaciones se deducen fácilmente a partir de las del amplificador inversor. El caso de la configuración de A3 y A4 no es tan trivial. El circuito es un sumador-restador como el de la figura 4.

Figura 4 - Sumador-restador utilizado en el circuito

Sabemos que, gracias a la realimentación negativa, V+=V-. Entonces, planteando la LVK en estos dos nodos, igualando sus tensiones, despejando la variable Vo y haciendo el resultado más prolijo tenemos que :

Esta es la transferencia de la configuración, que tiene dos ocurrencias en el circuito. La tensión V3 sería igual a cero en la que incluye a A4, debido a la modificación que habíamos hecho al filtro de variables de estado original para que sea un notch. Entonces, las tensiones en los nodos HP y OUT son las siguientes :

(3)

(4)

Logramos así un sistema de cuatro ecuaciones con cinco variables, que son las cinco tensiones. Resolviendo el sistema para V_OUT sobre V_IN obtenemos la siguiente fórmula, que es la transferencia del circuito :

(5)

Al extraerlos de la expresión de la transferencia vemos que los parámetros del filtro en función de los valores de los componentes son :

(6), (7), (8) y (9)

Como vemos, si determinamos los valores de R1, R2, C1 y C2, entonces el cociente R7 sobre R8 quedará determinado unívocamente por w _z, el cociente R6 sobre R5 también debido a w _p, luego Q_p definirá el cociente R6 sobre R5 y por último la expresión de H0 nos dará el valor de R9 sobre R10.

Esto sugiere un camino para calcular valores para los componentes que sean similares a los comerciales, que es elegir valores comerciales para R1, R2, C1 y C2 de manera que los cocientes de resistencias que resulten sean cercanos a los que los valores comerciales nos ofrecen. Sin embargo, previo a esto hay que considerar otro factor, que es la optimización del rango dinámico.

El rango dinámico es la gama de amplitudes de señal de entrada con las que el filtro puede trabajar correctamente. Su límite superior estará determinado por la distorsión que se observa por recortes, que ocurre cuando la tensión de salida calculada para los operacionales en el caso ideal es mayor de lo que estos pueden entregar en la realidad, siendo este nivel levemente inferior al de la alimentación de los mismos. Por otra parte, el rango dinámico tiene un límite inferior debido a que, para señales muy pequeñas, la relación señal-ruido puede ser excesivamente grande. Para optimizar el rango dinámico hay que conseguir que las tensiones sean las mayores posibles pero sin llegar al punto en donde ocurren recortes.

El rango dinámico se optimiza haciendo que la ganancia máxima en cada salida de operacional sea igual. Así, si en el nivel de salida V_OUT no hubieran recortes no los habría tampoco en las etapas anteriores, pero tampoco los niveles de señal de las etapas anteriores serían más bajos de lo que podrían ser, disminuyendo la relación señal-ruido. En la práctica conviene hacer que el nivel máximo en la salida sea levemente superior a los otros, ya que se debe tener en cuenta la dispersión de los valores de los componentes.

V_LP cumple la regla si :

Ahora igualemos los máximos en los puntos HP y LP. Despejando V_HP y V_LP del sistema formado por (1), (2) y (3), calculando el límite para la frecuencia tendiendo a infinito en el caso de V_HP y resolviendo V_LP para corriente continua, ya que estos puntos son los máximos de las funciones respectivas, se obtienen las siguientes fórmulas :

Igualando estas dos expresiones obtenemos que R5 debe ser igual a R6 para que las amplitudes máximas sean iguales.

A partir de estas condiciones se podrían inferir otras para la elección de R1, R2, C1 y C2 utilizando (6), (7), (8) y (9), pero se prefirió verificarlas a-posteriori ya que las funciones del software utilizado (MathCad) lo hacían trivial. Por otro lado, recordemos que las condiciones son deseadas pero no indispensables.

Para el caso de V_BP observemos que si nos aseguramos de que no haya niveles excesivos en los puntos HP y LP, y la ganancia de la etapa pasa-banda no es mayor que la pasa-bajos, entonces es imposible que, para alguna frecuencia, la etapa pasa-banda tuviera una ganancia que pusiera a la salida fuera del rango permitido para que luego la etapa pasa-altos la atenuara regresándola a un nivel aceptable. Este razonamiento indica que hacer que R1.C1 sea menor o igual a R2.C2 es suficiente para que no se produzcan recortes en V_BP (dado que no los hay en V_HP ni en V_LP). Lo ideal es que los productos sean iguales, para que el nivel en BP tampoco se vea muy disminuido. Entonces un criterio útil es hacer R1.C1=R2.C2, aunque vale hacer notar que es una condición débil (en el sentido de que está lejos de ser necesaria.)

Aplicando R5=R6 en (7) vemos que :

Si a esto se le agrega el criterio de hacer que el producto de R1 y C1 sea igual al de R2 y C2 se obtiene un valor de 86,6ms para los mismos. Esto indica que se consigue un buen rango dinámico si los capacitores son del orden de décimas de microfaradio y los resistores de varios cientos de miles de ohms. Utilizar mayores capacitancias implicaría un incrementar el costo y el tamaño, mientras que utilizar resistencias más grandes provocaría mayor ruido.

Con esta información se puede aplicar el método descripto con anterioridad. El objetivo es elegir valores de R1, C1, R2, C2 que cumplan, lo mejor posible, las condiciones para obtener un buen rango dinámico y que, a su vez, impliquen que los cocientes de resistencias que se obtengan sean similares a los que se pueden conseguir con valores comerciales. Esto es fácil de realizar con la ayuda de un software adecuado, como el MathCad, y de la siguiente tabla :

En la tabla se observan los cocientes posibles, las columnas son los numeradores y las filas los denominadores. Se descarta momentáneamente la ubicación de la coma decimal ; multiplicar los cocientes por potencias de diez implica hacer el mismo ajuste con los valores de resistencia que resulten. Por ejemplo, si se quiere ubicar el par que mejor resulte en un cociente de 11,8, se puede ver que 39 sobre 33 es 1,182 lo que es muy similar, y el ajuste a hacerse es multiplicar por diez el primero, entonces el cociente se obtiene haciendo 390 sobre 33, o 3,9K sobre 330, o 39K sobre 3,3K, etc.

Tras aplicar el método se observó que el conjunto de valores que se ve en el circuito de la figura 6 cumple muy satisfactoriamente la especificación con un buen rango dinámico.

Figura 6 - Circuito con los valores calculados

A-priori podría parecer que el valor de los resistores R1 y R2 es excesivo, lo que traería problemas de ruido. Sin embargo hay que recordar que el objetivo es maximizar la relación señal-ruido. El nivel de señal tras esas etapas es inversamente proporcional al de la resistencia, mientras que gran parte del ruido que depende de la misma es proporcional a su raíz cuadrada, ya que es ruido de Johnson. Por lo tanto, si se mantienen los valores de los capacitores, este valor de resistencias provoca una mejor relación de señal-ruido que valores más chicos. Lo ideal sería utilizar capacitores de mayor valor pero existe una diferencia sensible de costo y tamaño entre estos y los especificados, por lo que se consideró criteriosa la elección hecha.

Con los componentes dados los parámetros de la transferencia resultan ser :

El parámetro que se juzgó más importante, w _z, está en un ±1% de lo especificado. Los demás están dentro del ±3%.

No se cumple la condición de que R5=R6. Esto provoca que la amplitud de V_HP sea menor de lo que podría ser, restringiendo el rango dinámico debido al aumento de la relación señal-ruido. En la elección de los valores se prefirió la exactitud en los parámetros antes que lograr un rango dinámico perfecto. Lo importante es que las dos resistencias no se diferencian demasiado, lo que hubiera traído consigo problemas de ruido.

En la figura 7 puede verse la respuesta en frecuencia según una simulación del circuito realizada con el software PSpice. En la misma se incluyen los puntos HP, BP y LP, y se puede observar cómo los niveles de los mismos están en un rango aceptable. Incluso puede notarse lo explicado en el párrafo anterior sobre V_HP.

Reemplazando los parámetros de la transferencia por los valores calculados y pasando a la forma de Bode se obtiene :

Esta respuesta en frecuencia puede verse, en módulo y fase, en las figuras 8 y 9 (fase dada en radianes).

Figura 8 - Módulo de la respuesta en frecuencia

Figura 9 - Fase de la respuesta en frecuencia

Estas curvas podían haber sido trazadas aplicando el método de Bode. En la figura 10 podemos ver las aproximaciones que se utilizan en el mismo.

2

H(s) puede ser llevada a la siguiente forma para facilitar la obtención de su transformada inversa :

La respuesta al impulso será igual a la transformada inversa, que es :

f es el ángulo formado por el eje real y el segmento que va desde el cero del segundo término de H(s) hasta el polo del mismo.

Gráficamente :

Figura 11 - Respuesta al impulso unitario obtenida analíticamente

La respuesta al escalón será la transformada inversa del producto de H(s) por la transformada del escalón, que es 1/s. Trabajando algebraicamente con el mismo llegamos a la siguiente forma, que facilita la obtención de la anti-transformada :

Anti-transformando esta expresión obtenemos :

f es el ángulo formado por el eje real y el segmento que va desde el cero del segundo término de S(s) hasta el polo del mismo.

Gráficamente :

Figura 12 - Respuesta al escalón unitario obtenida analíticamente

Nuevamente se puede contrastar este gráfico con lo obtenido de una simulación con el software PSpice, que se puede ver en la figura 13.

La respuesta a una onda cuadrada de 1 hertz de frecuencia y amplitud de ±1 volt fue simulada por medio del software PSpice. Los resultados de la simulación pueden verse en la figura 14.

También se simuló la respuesta del circuito a una onda senoidal de 3,21 hertz de frecuencia (ubicación del notch) y 1 volt de amplitud pico, pudiéndose ver los resultados en la figura 15.

El siguiente es el diagrama del filtro diseñado, del cual se construyó un prototipo :

Figura 16 - Circuito armado

La única diferencia con el circuito propuesto es el agregado de las resistencias R11 y R12, que se colocaron para igualar las impedancias en DC vistas a la entrada de los operacionales respectivos y de esta manera evitar el error producido por las corriente de bias (polarización) de las entradas. En los otros operacionales las impedancias están relativamente balanceadas por lo que esto no presenta un problema.

Otro factor que diferencia a los operacionales reales de los ideales, y que podría ser importante en el diseño de un filtro, es su ancho de banda limitado. Sin embargo, debido a la baja frecuencia de las singularidades de este diseño, el efecto de este factor se puede despreciar.

Los amplificadores operacionales utilizados son LM324, que vienen en una cantidad de cuatro en un encapsulado DIP-14. La ventaja principal de estos es un bajo costo y una baja tensión de offset, que permite su utilización sin presets de ajuste mientras se trabaje con ganancias que no sean excesivamente grandes.

Los capacitores utilizados en el prototipo son de poliéster metalizado (leyenda "MKT") de 5% de tolerancia (código "J").

Se utilizaron partes con una tensión máxima de trabajo en corriente continua de 100V porque fueron las que se tenían disponibles ; 50V o 63V es suficiente para la aplicación, ya que el capacitor que estará sometido a la mayor dV/dt es el de la etapa pasa-banda y las frecuencias de ganancia significativa de la misma son de unos pocos hertz, pudiendo los capacitores trabajar a alrededor de un 80% de la tensión de continua para esas frecuencias tan bajas, lo que significa tensiones del orden de los 40V, cifra que es mayor que la máxima alimentación del filtro.

El poliéster metalizado presenta una aceptable variación de la capacitancia en función de la temperatura mientras se lo opere entre -5ºC y 60ºC, siendo esta de alrededor de un ±1%. Fuera de este rango la variación de capacitancia suele ser de hasta un ±2,5%. Si estos valores fueran inaceptables se podrían utilizar capacitores de polipropileno metalizado (leyenda "MKP"), levemente mejores pero de tamaño y costo un poco mayor, o de policarbonato metalizado, que son aún mejores pero, además de un peor costo y tamaño, generalmente son preparados solo bajo pedido. Una forma práctica de obtener una excelente estabilidad con la temperatura es utilizar un capacitor de poliéster en paralelo con uno de polipropileno, ya que las curvas de capacitancia en función de la temperatura de estos materiales tienen pendientes de signos opuestos. Utilizar esta última alternativa obligaría a recalcular el circuito, ya que 0,22m F divido 2 no es un valor estandarizado. Para concluir con este tema, si la prioridad es la estabilidad ante un rango de temperaturas muy grande, y el costo y la disponibilidad no son un problema importante, se puede optar por utilizar capacitores de teflón.

Si la prioridad es el costo y la manufacturabilidad, o si el circuito se va a implementar con tecnología de montaje superficial, los capacitores cerámicos son una alternativa válida siempre que se consideren algunos factores. Por un lado, es muy usual encontrar, para valores como los utilizados en el filtro, tolerancias de código Z (-20%/+80%) que evidentemente son inaceptables para esta aplicación, o de código M (±20%) que también podrían serlo. Capacitores de estos valores con tolerancias de código K (±10%) o incluso J (±5%) existen y habría que especificar de estos. Por otra parte, también es usual, en estos valores, encontrar capacitores con curvas de capacitancia en función de la temperatura de código Z5U o similar, pudiendo ser estas inaceptables. Nuevamente, con un poco de trabajo se pueden encontrar capacitores cerámicos con curvas mucho mejores como la X7R. Una curva aún mejor y muy conocida es la C0G pero no sería realista especificar capacitores de 0,22m F que la posean.

Los capacitores electrolíticos no son una opción aceptable, aunque fueran de los bipolares, debido a sus parásitos y a su dispersión no menor al ±20%.

Para terminar, si es importante minimizar el ruido la opción original del poliéster metalizado no sería la más adecuada debido a que presentan un "ruido de 1/f" (a veces también llamado "ruido de flicker") que no es de los mejores. Este ruido es rosa, es decir, es inversamente proporcional a la frecuencia, por lo que podría ser un factor a tener en cuenta si fuera importante lograr un bajo ruido ya que las frecuencias de interés en el filtro son muy bajas. Para mejorar la performance en este sentido se puede optar por capacitores que también son de película plástica pero no metalizada, es decir, de tipo "foil", que se consiguen en las mismas variedades que los metalizados (poliéster, polipropileno y policarbonato) aunque son menos comunes y tienen un costo mayor. Una vez más, si antes que el costo la prioridad es un bajo ruido se pueden considerar los capacitores de teflón.

En el prototipo se tuvo la intención de utilizar todas resistencias de película metálica, aunque por razones de disponibilidad no se lo pudo hacer en su totalidad. La ventaja que presentan estas con respecto a las de película de carbón, y más aún frente a las de carbón depositado, es un menor "ruido de 1/f". Como se dijo anteriormente, este tipo de ruido es preponderante en el filtro debido a la baja frecuencia de sus singularidades. Sin embargo, si obtener un bajo ruido no es importante se podrían utilizar de los otros tipos de resistencias que son más económicas, aunque se estaría ahorrando muy poco dinero.

Figura 17 - Ruido de "1/f" para distintos tipos de resistencias

El armado del prototipo se pudo haber realizado de las maneras que se describen a continuación :

1. En una plaqueta experimental con conexiones soldadas en su totalidad.
2. En una plaqueta experimental con algunas conexiones soldadas y otras realizadas con la técnica del "wire-wrap".
3. En una plaqueta diseñada especialmente para el circuito.

La tercera opción tiene las ventajas de facilitar la construcción de varios prototipos (si se encargaba la plaqueta a una fábrica o se la procesaba fotográficamente por ejemplo) y, a diferencia de los dos primeros métodos, incluye el diseño físico (el del circuito impreso) en la construcción del prototipo, ahorrando trabajo si el proyecto culminara con una fabricación en serie. Este no era el caso ; para construir un único prototipo los primeros dos métodos parecían más rápidos, por lo que el tercero fue descartado.

Se opto por el segundo método, el de usar algunas conexiones hechas con "wire-wrap" debido a que se contaba con una plaqueta experimental pequeña, y además el "wire-wrap" facilitaba la tarea, ya que no era preciso hacer una planificación previa de la posición de los componentes para conseguir un trabajo prolijo. Sin embargo cabe mencionar que las virtudes del "wire-wrap" se ven mejor en la construcción de dispositivos que tienen mayor número de conexiones, como los digitales, y que para este trabajo no se encontraron demasiados argumentos para preferirlo frente a utilizar una plaqueta experimental más grande y soldar puentes.

Se implementó el siguiente conexionado para medir la transferencia (en módulo) del prototipo armado :

Figura 18 - Diagrama de conexión para la medición

Se fijó una señal de entrada senoidal de 1 V(pico-a-pico) de amplitud y, por medio del osciloscopio, se tomaron sucesivas lecturas de la amplitud de la señal de salida para distintas frecuencias, las cuales fueron medidas con el contador universal. Como se puede ver en el diagrama, para alimentar el prototipo se utilizaron dos fuentes de C.C. implementándose una fuente partida de 9V+9V.

Las curva así obtenida se puede ver en el siguiente gráfico, en el cual también se presenta la transferencia que se había especificado como para poder contrastarlas.

Figura 19 - Transferencia medida comparada con la especificada

Se puede ver que las curvas son muy similares y que el circuito cumple muy satisfactoriamente lo especificado. En la siguiente tabla se pueden comparar los valores especificados, diseñados y medidos de distintos parámetros. Recordemos que para los cálculos del diseño se utilizaron modelos ideales para todos los componentes.

Figura 20 - Resultados de los parámetros importantes

En la tabla se ve que los resultados son excelentes. Es de destacarse la profundidad del polo, de -27 dB, cuando el borde de la derecha es de 10,5 dB. Sin embargo, cabe mencionar que, debido a la dispersión de los componentes utilizados, no puede esperarse una concordancia tan grande con lo especificado para toda implementación del circuito diseñado, ya que en el prototipo evidentemente se tuvo suerte con los valores reales de los componentes.

En la próxima sección se hace un análisis de sensibilidad y se muestra cómo esta dispersión afecta a los parámetros que describen al filtro.

Con la premisa de que las desviaciones en los valores son pequeñas, como para poder utilizar solo los primeros términos de las series de Taylor sin tener un error significativo, se utilizan propiedades fácilmente verificables para calcular las distintas sensibilidades relativas. Recordemos que estas indican la proporción con la cual el error relativo del valor de un componente repercute en el parámetro que se esté estudiando ; por ejemplo una sensibilidad relativa de A debido a B de 0,8 significa que un error en B del +5% provoca un error en A del +4%.

Las siguientes son dos propiedades de la sensibilidad relativa :

Siendo la sensibilidad relativa de y debido a x.

Aplicando en (6) y (7) las propiedades mencionadas obtenemos las sensibilidades de w _z y w _p :

Para calcular las sensibilidades de Q_p y H0 hay que aplicar también la siguiente propiedad :

Entonces, de (8) y (9) obtenemos :

Se puede ver que las sensibilidades son muy satisfactorias, siendo esta una de las características de los filtros de variables de estado.

El filtro diseñado cumple las especificaciones y es de costo bajo y fabricación simple. El método utilizado para la selección de los valores de los componentes resultó muy satisfactorio, como se puede ver en los resultados calculados y medidos. También se vio que el filtro de variables de estado presenta una buena sensibilidad.

"The Art of Electronics" P. Horowitz, W. Hill, Cambridge University Press

"Reference Data for Engineers : Radio, Electronics, Computer and Communications, 7^th edition", Jordan, Sams

"Active and Passive Analog Filter Design", L. Huelsman, McGraw-Hill

Hojas de datos del LM324, National Semiconductor

"Capacitor & Relay Component Selector", Cornell-Dubilier

"’95 Electronic Components", nichicon

"Passive Electronic Component Handbook, 2^nd edition", Harper, McGraw-Hill